自然数到底是什么？

自然数这个概念，在小学的时候就应当学过。整个小学数学的基础，就从这样的一个定义开始。然而当进入大学之后，在离散数学中我又重新见到这个问题。

自然数的定义是什么？

一言以蔽之，可以表示为：

$$ 0=∅ ∧ n+1=n∪{n} $$

没学过离散的人大概是不会回答出这样的答案的。那么，正常人会怎么回答这个看似简单的问题？

粗一看，这个问题似乎很容易解决。自然数嘛：0,1,2,3…这样的数叫自然数。但是，这样的描述能够令人满意吗？

或许，我们可以用集合描述法来稍微把自然数定义的严谨一些？像这样：非负整数组成的集合${x|x≥0∧x∈Z}$。但是，这样一来又有新问题了：整数又是什么？如果继续追问下去，有理数又是什么，实数又是什么，复数又是什么？最后还是无法解决这个问题，这一系列问题，应当是由前向后解决的：应当由自然数定义整数，而不是整数定义自然数。所以，这样的解决方案也是不合理的。

或许再进一步，我们可以再定义一个形式系统来表述？

定义一个四元组$<A(N),E(N),Ax(N),R(N)>$

分别为系统的字母表，合式公式集，公理集，推理规则集。

字母表$A(N)={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$

规定形如 $N= A_n …A_4 A_3 A_2A_1$这样的序列构成自然数，为每一位分配对应的位权。

当然剩下的条条框框可以自己补上。

当然有个问题：为什么自然数是十进制？

同时更严重的是，这样的定义很显然还是停留在“自然数是怎么样的形式。“没有解决最根本的问题：”自然数是什么”。

往往越是简单的问题就越难以回答。

“自然数是什么” 就是这样的一个问题。

那么自然数到底是什么?

毕达哥拉斯学派认为：万物皆数。

自然数，顾名思义，自然的数，存在于自然之中的数。

要想知道自然数十什么，就需要了解自然数是如何诞生的。

那就让我们模拟古人的思维，从自然数的诞生说起。

首先需要了解，我们与古人思想上巨大的差异，最关键的原因在于：使用概念的能力。也可以换个角度：抽象思维能力。

概念是强大而有力的思想武器。我们可以在交流中使用许许多多的概念：比如物质，意识，思想，存在。但是在这样的概念形成之前，人们就很难如此方便的进行交流。比如我说：“物质决定意识” 这句话的含义是非常清楚明晰，现代人一看就能懂。但是对于远古时代的人来讲，就会觉得莫名其妙：物质是什么?意识是什么？

有一些思想者明白了这个道理，他们想要传达给别人自己了解的概念，就必须通过具体的事例，故事。比方说以寓言的形式讲故事，或者是用具体事物来体现道理，用“相”来传“道”。缺少了抽象概念，便无法像我们现在这样简洁明了高效率地进行交流。但毫无疑问，古人是极其伟大的，正是他们，极具天才地创造了这些概念，让我们拥有得以思辨的工具。

那么数的概念是怎么形成的呢?其实每个人都经历过这个过程，从小学学数学的时候，人就逐步形成了数的概念。很可惜，这个过程我想能记起来的人并不是太多。所以 要了解这个问题，我们还是模仿一下古人的思维。不妨将自己脑海中数的概念剔除出去。现在，关于数我们什么都不知道，和远古时的人一样，0是什么，1是什么，完全没有概念。

那么假设这样一个情景，我有个苹果。然后又拣了个苹果。因为我不知道“二”这个概念，我想向别人表达这样的一条信息，只能这样说：“我有个苹果，我有个苹果。”远古时代人没有数字的概念，只能通过这种“重复”来表示多少的概念。很显然，一个两个可以数过来，手指头不够脚趾头上。但要是成百上千的东西怎么办呢？为了解决这个问题。古人发明了结绳计数。

结绳计数可以说是数学史上一个伟大的创举，它所蕴含的数学原理就是：一进制。

一进制是什么？！？ 我们听说过十进制，十二进制，六十进制，还有二进制，那一进制是什么东西？

很简单，十进制是逢十进一，二进制是逢二进一。

一进制就是逢一进一，每一位的权重都相等，都是一。

就像扳手指头数数一样。一个苹果我就扳一根手指，每一根手指头都是等价的，代表一个苹果。再比如时序信号是二进制编码，因为它有两个状态0和1，而脉冲信号就是一进制，因为它只计算脉冲的个数，每多一个脉冲就多一次计数。

一进制，是最朴素的进制，是最朴素的计数方法，也是一切其他进制的基础。在很多地区，很多没有上过学的人，依然还在使用这种原始的方法进行着计算，唱票划道道，就是一种典型的一进制计数。

那么，这种计数方法的规则用自然语言该如何表述呢？

• 首先，第一条：如果我没有苹果，我就用 “什么符号都没有” 来表示
• 然后，第二条：如果往一堆苹果中多放一个苹果，那么多标记一个符号。

比如，现在我用*表示一个苹果。

那么像 这样什么都没有就表示我没有苹果，像 *就表示我有一个苹果

多放一个苹果，我就需要增加一个符号 结果就是这样：**

这就是自然数的基础，一进制。自然而然地，我们可以引入离散数学，集合论中形式化的语言对自然数进行定义：

1.定义0为∅：零，就是什么都没有，就是空集。

2.定义$n+1=n∪{n}：$n+1$就是$n$后面一个数的意思

看出来了吗？这是一个递归定义，正是初中曾学过的数学归纳法。

这样定义的本质依然是一进制。只不过计数所用的基本符号变成了∅及其衍生符号（衍生就是指套花括号）。

这样定义，我们不推几个实例来表示：

$0 = ∅$

$1={∅}$

$2={∅，{∅}}$

$3={∅，{∅}，{∅，{∅}}}$

$4={∅，{∅}，{∅，{∅}}，{∅，{∅}，{∅，{∅}}} }$

etc…

我们来看一下这样的定义有什么样的好处

0， 也就是空集，里面什么记号都没有。

而对于不为零的每一个集合，每一个集合不仅包含前面集合所有的元素，也比前面的集合多了一个元素。

**对于每一个集合，它里面的元素个数，都恰好等于其对应的自然数。**我们把这样集合元素的个数，叫做集合的 势。

但是为什么要用这么复杂的形式来表示呢？集合一层套一层？

原因在于定义集合这个概念的时候，数学家们规定，集合中的元素是不能重复的。

所以他们极具创造性地的给∅ 套上集合花括号。这样，∅ 和{∅}就可以放在同一个集合里了。

那为什么不这样表示呢？每一个新元素就给空集新套一层集合花括号：

{∅，{∅}，{{∅}}，{{{∅}}}，… }

如果这样表示，勉强地讲也不是不可以，但是很可惜，这样的形式，就会丢失许多自然数应该有的性质。

比如，三歧性。

自然数有三歧性：两个自然数，要么此大彼小，要么此小彼大，要么两者相等。不存在第四种可能性。就像两堆苹果比较，也总会是这三种情况之一。

这样的性质很重要，我们怎么通过这样的形式定义来获得这样的性质呢?

刚才那种形式化的定义很显然是满足要求的。

如果A比B小，那么A是B的子集。

如果A比B大，那么B是A的子集。

如果A和B一样大，那么A与B等势，也就是所含元素一样多。

这就是集合语言定义的自然数所具有的三岐性。

除此之外，还有许许多多的优良性质，比如集合基数的定义，就不再展开了。

**因此，可以说，这个定义的得出，是自然而然而又万分巧妙的！ **

自然数有的性质，它都有。

它对自然数的概念进行了一次革命性的拓展。

将自然数统一于集合，然后NZQRC也自然而然地统一定义到了集合上。

整个数学大厦的地基就建立在这些的基础上。

总而言之，自然数就是集合。

不仅整个自然数是集合，更重要的是：每一个自然数都是一个集合。

怎么样，是不是觉得离散数学集合论给出的这个定义太完美了？

精准，言简意赅，层次分明，充满了秩序之美？