自然数是什么?

自然数的概念在小学就教过,但学完高等数学后,我们应当对其有更深刻的认识。

Vonng

自然数,这个概念,在小学的时候就应当学过。整个小学数学的基础,就从这样的一个定义开始。然而当进入大学之后,在离散数学中我又重新见到这个问题。

自然数的定义是什么? 一言以蔽之,可以表示为:

\(0=∅ ∧ n+1=n∪\{n\}\)

没学过离散的人大概是不会回答出这样的答案的。那么,正常人会怎么回答这个看似简单的问题?

粗一看,这个问题似乎很容易解决。自然数嘛:0,1,2,3…这样的数叫自然数。但是,这样的描述能够令人满意吗?

​ 或许,我们可以用集合描述法来稍微把自然数定义的严谨一些?像这样:非负整数组成的集合\(\{x|x≥0∧x∈Z\}\)。但是,这样一来又有新问题了:整数又是什么?如果继续追问下去,有理数又是什么,实数又是什么,复数又是什么?最后还是无法解决这个问题,这一系列问题,应当是由前向后解决的:应当由自然数定义整数,而不是整数定义自然数。所以,这样的解决方案也是不合理的。

或许再进一步,我们可以再定义一个形式系统来表述?

定义一个四元组\(<A(N),E(N),Ax(N),R(N)>\)

分别为系统的字母表,合式公式集,公理集,推理规则集。

字母表\(A(N)={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\)

规定形如 \(N= A_n …A_4 A_3 A_2A_1\)这样的序列构成自然数,为每一位分配对应的位权。

当然剩下的条条框框可以自己补上。

当然有个问题:为什么自然数是十进制?

同时更严重的是,这样的定义很显然还是停留在“自然数是怎么样的形式。“没有解决最根本的问题:”自然数是什么”。

往往越是简单的问题就越难以回答。

“自然数是什么” 就是这样的一个问题。

那么自然数到底是什么?

毕达哥拉斯学派认为:万物皆数。

自然数,顾名思义,自然的数,存在于自然之中的数。

要想知道自然数十什么,就需要了解自然数是如何诞生的。

那就让我们模拟古人的思维,从自然数的诞生说起。

首先需要了解,我们与古人思想上巨大的差异,最关键的原因在于:使用概念的能力。也可以换个角度:抽象思维能力。

​ 概念是强大而有力的思想武器。我们可以在交流中使用许许多多的概念:比如物质,意识,思想,存在。但是在这样的概念形成之前,人们就很难如此方便的进行交流。比如我说:“物质决定意识” 这句话的含义是非常清楚明晰,现代人一看就能懂。但是对于远古时代的人来讲,就会觉得莫名其妙:物质是什么?意识是什么?

​ 有一些思想者明白了这个道理,他们想要传达给别人自己了解的概念,就必须通过具体的事例,故事。比方说以寓言的形式讲故事,或者是用具体事物来体现道理,用“相”来传“道”。缺少了抽象概念,便无法像我们现在这样简洁明了高效率地进行交流。但毫无疑问,古人是极其伟大的,正是他们,极具天才地创造了这些概念,让我们拥有得以思辨的工具。

​ 那么数的概念是怎么形成的呢?其实每个人都经历过这个过程,从小学学数学的时候,人就逐步形成了数的概念。很可惜,这个过程我想能记起来的人并不是太多。所以 要了解这个问题,我们还是模仿一下古人的思维。不妨将自己脑海中数的概念剔除出去。现在,关于数我们什么都不知道,和远古时的人一样,0是什么,1是什么,完全没有概念。

​ 那么假设这样一个情景,我有个苹果。然后又拣了个苹果。因为我不知道“二”这个概念,我想向别人表达这样的一条信息,只能这样说:“我有个苹果,我有个苹果。”远古时代人没有数字的概念,只能通过这种“重复”来表示多少的概念。很显然,一个两个可以数过来,手指头不够脚趾头上。但要是成百上千的东西怎么办呢?为了解决这个问题。古人发明了结绳计数。

​ 结绳计数可以说是数学史上一个伟大的创举,它所蕴含的数学原理就是:一进制

一进制是什么?!? 我们听说过十进制,十二进制,六十进制,还有二进制,那一进制是什么东西?

很简单,十进制是逢十进一,二进制是逢二进一。

一进制就是逢一进一,每一位的权重都相等,都是一。

​ 就像扳手指头数数一样。一个苹果我就扳一根手指,每一根手指头都是等价的,代表一个苹果。再比如时序信号是二进制编码,因为它有两个状态0和1,而脉冲信号就是一进制,因为它只计算脉冲的个数,每多一个脉冲就多一次计数。

​ 一进制,是最朴素的进制,是最朴素的计数方法,也是一切其他进制的基础。在很多地区,很多没有上过学的人,依然还在使用这种原始的方法进行着计算,唱票划道道,就是一种典型的一进制计数。

那么,这种计数方法的规则用自然语言该如何表述呢?

  • 首先,第一条:如果我没有苹果,我就用 “什么符号都没有” 来表示
  • 然后,第二条:如果往一堆苹果中多放一个苹果,那么多标记一个符号。

比如,现在我用*表示一个苹果。

那么像这样什么都没有就表示我没有苹果,像 *就表示我有一个苹果

多放一个苹果,我就需要增加一个符号 结果就是这样:**

这就是自然数的基础,一进制。自然而然地,我们可以引入离散数学,集合论中形式化的语言对自然数进行定义:

1.定义0为∅:零,就是什么都没有,就是空集。

2.定义\(n+1=n∪\{n\}:\)n+1\(就是\)n$后面一个数的意思

看出来了吗?这是一个递归定义,正是初中曾学过的数学归纳法。

这样定义的本质依然是一进制。只不过计数所用的基本符号变成了∅及其衍生符号(衍生就是指套花括号)。

这样定义,我们不推几个实例来表示:

\(0 = ∅\)

\(1=\{∅\}\)

\(2=\{∅,\{∅\}\}\)

\(3=\{∅,\{∅\},\{∅,\{∅\}\}\}\)

\(4=\{∅,\{∅\},\{∅,\{∅\}\},\{∅,\{∅\},\{∅,\{∅\}\}\} \}\)

etc…

我们来看一下这样的定义有什么样的好处

0, 也就是空集,里面什么记号都没有。

而对于不为零的每一个集合,每一个集合不仅包含前面集合所有的元素,也比前面的集合了一个元素。

对于每一个集合,它里面的元素个数,都恰好等于其对应的自然数。我们把这样集合元素的个数,叫做集合的

但是为什么要用这么复杂的形式来表示呢?集合一层套一层?

原因在于定义集合这个概念的时候,数学家们规定,集合中的元素是不能重复的。

所以他们极具创造性地的给∅ 套上集合花括号。这样,∅ 和{∅}就可以放在同一个集合里了。

那为什么不这样表示呢?每一个新元素就给空集新套一层集合花括号:

{∅,{∅},{{∅}},{{{∅}}},… }

如果这样表示,勉强地讲也不是不可以,但是很可惜,这样的形式,就会丢失许多自然数应该有的性质。

比如,三歧性。

自然数有三歧性:两个自然数,要么此大彼小,要么此小彼大,要么两者相等。不存在第四种可能性。就像两堆苹果比较,也总会是这三种情况之一。

这样的性质很重要,我们怎么通过这样的形式定义来获得这样的性质呢?

刚才那种形式化的定义很显然是满足要求的。

如果A比B小,那么A是B的子集。

如果A比B大,那么B是A的子集。

如果A和B一样大,那么A与B等势,也就是所含元素一样多。

这就是集合语言定义的自然数所具有的三岐性。

除此之外,还有许许多多的优良性质,比如集合基数的定义,就不再展开了。

**因此,可以说,这个定义的得出,是自然而然而又万分巧妙的! **

自然数有的性质,它都有。

它对自然数的概念进行了一次革命性的拓展。

将自然数统一于集合,然后NZQRC也自然而然地统一定义到了集合上。

整个数学大厦的地基就建立在这些的基础上。

总而言之,自然数就是集合

不仅整个自然数是集合更重要的是:每一个自然数都是一个集合。

怎么样,是不是觉得离散数学集合论给出的这个定义太完美了?

精准,言简意赅,层次分明,充满了秩序之美?